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高一数学期末考试，任意存在否定命题参变分离技巧，轻松求最值！

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xinwen.mobi 发表于 2025-1-1 18:31:22 | 显示全部楼层 |阅读模式
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任意与存在命题的否定形式
   对于全称命题“\(\forall x\in M,p(x)\)”，它的否定是特称命题“\(\exists x\in M,\neg p(x)\)”。
   对于特称命题“\(\exists x\in M,p(x)\)”，它的否定是全称命题“\(\forall x\in M,\neg p(x)\)”。
参变分离技巧
   例1：已知函数\(f(x)=x^2 + ax+1\)，若\(\forall x\in[1,2],f(x)\geqslant0\)恒成立，求\(a\)的取值范围。
     由\(f(x)=x^{2}+ax + 1\geqslant0\)在\([1,2]\)上恒成立，将参数\(a\)分离出来。
     得到\(a\geqslant\frac{1}{x}\)在\([1,2]\)上恒成立。
     令\(g(x)\frac{1}{x}\)，\(x\in[1,2]\)。
     对\(g(x)\)求导得\(g^\prime(x)1+\frac{1}{x^{2}}=\frac{1 x^{2}}{x^{2}}\leqslant0\)，\(x\in[1,2]\)。
     所以\(g(x)\)在\([1,2]\)上单调递减。
     则\(g(x)_{\max}=g(1)2\)。
     所以\(a\geqslant 2\)。
   例2：已知函数\(f(x)=x^2 2x + a\)，\(\exists x\in[1,3]\)，使得\(f(x)\leqslant0\)成立，求\(a\)的取值范围。
     由\(f(x)=x^{22x + a\leqslant0\)在\([1,3]\)上有解，将参数\(a\)分离出来。
     得到\(a\leqslantx^{2}+2x\)在\([1,3]\)上有解。
     令\(h(x)x^{2}+2x\)，\(x\in[1,3]\)。
     \(h(x)(x 1)^{2}+1\)，函数\(h(x)\)在\([1,3]\)上单调递减。
     \(h(x)_{\max}=h(1)=1\)。
     所以\(a\leqslant1\)。

在解决这类问题时，关键是根据命题的要求进行正确的参变分离，然后通过求函数的最值来确定参数的取值范围。
in, 命题, 分离

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